Question

如圖，在矩形ABC中，AB=4，AD=，E為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使A′在平面BCDE的射影在DE上，F(xiàn)為線段A′D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直線A'C與平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由F為線段A′D的中點(diǎn)．考慮取A′C的中點(diǎn)M，F(xiàn)M∥EB，F(xiàn)M=EB，從而有四邊形EBMF為平行四邊形，故有EF∥MB，根據(jù)線面平行的判定定理可證
（II）過C作CO⊥DE，連接A′O，由A′在平面BCDE的射影在DE上，可得平面A′DE⊥平面BCDE，從而有CO⊥平面A′DE
則∠CA'O就是直線A′B與平面A′DE所成的角，再由E為AB中點(diǎn)，可得CE⊥DE，由平面A′DE⊥平面BCDE，可得O與E重合，而
tan∠EA′C=

CE

A′ E

可求

解答：解：（I）證明：取A′C的中點(diǎn)M，連接MF，MB，則MF∥DC，
且FM=

1

2

DC，又EB∥DC，且EB=

1

2

DC，從而有
FM∥EB，F(xiàn)M=EB所以四邊形EBMF為平行四邊形，
故有EF∥MB，（4分）
又EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，，
所以EF∥平面A′BC，．（6分）
（II）過C作CO⊥DE，O為垂足，連接A′O，
因?yàn)锳′在平面BCDE的射影在DE上，所以平面A′DE⊥平面BCDE，
且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以CO⊥平面A′DE
所以∠CA'O就是直線A′B與平面A′DE所成的角．（10分）
因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，∴CE⊥DE
因?yàn)槠矫鍭′DE⊥平面BCDE，且面A′DE∩平面BCDE=DE，
所以O(shè)與E重合
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">A′E=2，CE=2

2

所以tan∠EA′C=

CE

A′E

=

2

，
故直線A'C與平面A′DE所成角的正切值

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理與線面平行與線線平行的相互轉(zhuǎn)化，還考查了直線與平面所成角的求解，要注意利用已知圖形構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解．