Question

（本小題滿分12分）

已知F₁、F₂分別是雙曲線x²-y²＝1的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y＝kx+b  (b>0)與圓O相切，并與雙曲線相交于A、B兩點.

（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k滿足的關(guān)系式；

（Ⅱ）向量在向量方向的投影是p，當(×)p²＝1時，求直線l的方程；

（Ⅲ）當(×)p²=m且滿足2≤m≤4時，求DAOB面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)

（2）y=±x+

（3）[3] 

【解析】解：（Ⅰ）b和k滿足的關(guān)系式為b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0) …………3分

（Ⅱ）設(shè)A(x₁,y₁) B(x₂,y₂)，則由消去y

得(k²-1)x²+2kbx+b²+1=0，其中k²¹1        …………4分

∴×=x₁x₂+y₁y₂=(1+k²)x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²

= + + 2(k²+1)

由于向量方向上的投影是p

∴p²=cos²<,>=               …………6分

∴(×)×p²= + +2=1Þk=±

∵b²= 2(k²+1)  (k¹±1,b>0)， 故b= ，經(jīng)檢驗適合D＞0

∴直線l的方程為y=±x+               …………8分

（Ⅲ）類似于（Ⅱ）可得+ +2=m

∴k²=1+ ， b²=4+ 根據(jù)弦長公式

得  …………10分

則S_DAOB= |AB|×=

而mÎ[2,4]，∴DAOB的面積的取值范圍是[3]  …………12分