Question

如圖，在體積為V₁的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為所在邊的中點(diǎn)，正方體的外接球的體積為V，有如下四個(gè)命題；①BD₁=3AB；②BD₁與底面ABCD所成角是45°；
③

V

V1

=

3

2

π；④MN∥平面D₁BC．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：本題綜合考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，球與正方體的體積等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，由BD₁為正方體的對(duì)角線等于棱長(zhǎng)的

3

倍等于正方體外接球的直徑，我們易得①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤，③正確，根據(jù)線面平行的證明辦法，我們易證④正確，分析后，即可給出答案．

解答：解：高正方體邊長(zhǎng)為a，則BD₁為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，
故BD₁=

3

a=

3

AB，故①BD₁=3AB錯(cuò)誤；
則BD₁與底面ABCD所成角為∠D₁BD
∵D₁D⊥底面ABCD，則cos∠D₁BD=

BD

BD1

=

6

3

≠

2

2

故②BD₁與底面ABCD所成角是45°錯(cuò)誤；
此時(shí)正方體的外接圓直徑為BD₁，
即R=

3

2

a，則V₁=a³
V₂=

4

3

πR3=

3 π

2

a3
故③

V

V1

=

3

2

π正確
取CD₁的中點(diǎn)E，連接BE后，易證MN∥BE，
根據(jù)線面平面的判定定理我們易得④MN∥平面D₁BC正確
故選C

點(diǎn)評(píng)：正方體的內(nèi)切球直徑等于棱長(zhǎng)，正方體的外接球直徑等于對(duì)角線長(zhǎng)，等于棱長(zhǎng)的

3

倍．