Question

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知關(guān)于的方程有三個實根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，利用導數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由題意可知，關(guān)于的方程在時有三個根，令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的零點，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析方程的實根個數(shù)，從而可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）由，得，得.

令，則，令，得，列表如下：

		極小值

如下圖所示，當時，方程在時有兩根，當或時，方程在時只有一根.

作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

①當時，直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標為，

此時方程在時只有一根，不合乎題意；

②當時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，橫坐標分別為、，且，，

方程在時只有一根，方程在時只有一根，共有兩根，不合乎題意；

③當時，直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標為，

方程只有一根，不合乎題意；

④當時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，橫坐標分別為、，且，，

方程在時有兩根，方程在時只有一根，共有三根，合乎題意；

⑤當時，直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標為，，

方程在時有一根，方程在時也只有一根，共兩根，不合乎題意；

⑥當時，直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標為，且，

此時，方程在時只有一根，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.