Question

（本小題滿分12分）
四棱錐,面⊥面.側(cè)面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，底面為直角梯形，,∥，⊥,為上一點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先證⊥面，再證⊥面，進(jìn)而得證；
（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）面⊥面且交線為又⊥，
∴⊥面，
∴⊥，                                                           ……3分
∵⊥，，
∴⊥面，，                                          ……5分
∴⊥.                                                            ……6分
（Ⅱ）設(shè)為中點(diǎn)，則⊥，∴⊥面,
建系如圖，則,
∴，,                                    ……8分
設(shè)為面的法向量,
則，∴為面的一個(gè)法向量,                  ……9分
為面的法向量,                                         ……10分
∴,                                           ……11分
∴二面角的正弦值為.                                      ……12分
點(diǎn)評(píng)：用定理證明立體幾何問(wèn)題時(shí)要緊扣定理，定理中要求的條件一個(gè)也不能漏；用空間向量求解二面角時(shí)，要仔細(xì)計(jì)算，還要注意題目中的二面角時(shí)銳角還是鈍角.