Question

【題目】記等差數(shù)列的前項和為.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若 ，對任意，均有是公差為的等差數(shù)列，求使為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合；

（3）記，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】【試題分析】（1）先設等差數(shù)列的公差為，將，進而得到當時， ，依據(jù)定義可知數(shù)列是等差數(shù)列；（2）依據(jù)題設條件“任意的都是公差為，的等差數(shù)列”求出，然后建立等式，分析探求出滿足條件，當時不滿足，進而求出正整數(shù)的取值集合為；（3）先依據(jù)題設將問題轉化為證明不等式。證明時運用了做差比較的方法進行推證，進而證得 ，使得不等式或獲證。

解：（1）設等差數(shù)列的公差為，則，從而，所以當時， ，即數(shù)列是等差數(shù)列.

（2）因為的任意的都是公差為，的等差數(shù)列，所以是公差為，的等差數(shù)列，又，所以，所以，顯然， 滿足條件，當時，因為，所以，所以不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)的取值集合為.

（3）設等差數(shù)列的公差為，則，所以，即數(shù)列是公比大于，首項大于的等比數(shù)列，記公比為.以下證明： ，其中為正整數(shù)，且，因為，所以，所以，當時， ，當時，因為為減函數(shù)， ，所以，所以，綜上， ，其中

，即.