Question

求證：

C

0 r

C

m n

+

C

1 r

C

m-1 n

+

C

2 r

C

m-2 n

+…+

C

m r

C

0 n

=

C

m n+r

(n，m，r∈N*，m≤r，m≤n)．

Answer 1

分析：用組合數(shù)定義證明即可．

解答：證明：由于

C

m n+r

表示從n+r個數(shù)中取出m個數(shù)，可以分為，
先從r個數(shù)中取0個數(shù)，再從剩下的n個數(shù)中，取出m個數(shù)；
從r個數(shù)中取1個數(shù)，再從剩下的n個數(shù)中，取出m-1個數(shù)；
…
從r個數(shù)中取m個數(shù)，再從剩下的n個數(shù)中，取出0個數(shù)，
從而

C

0 r

C

m n

+

C

1 r

C

m-1 n

+

C

2 r

C

m-2 n

+…+

C

m r

C

0 n

=

C

m n+r

(n，m，r∈N*，m≤r，m≤n)

點評：本題考查組合數(shù)定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．