Question

已知函數(shù)y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)（2≤x≤4）
（1）令t=log₂x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，t的范圍．
（2）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由y=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)=

1

2

(log2x)2-

3

2

log₂x+1，令t=log₂x，則可求y關(guān)于t的關(guān)系，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求t的范圍
（2）由y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域

解答：解：（1）∵y=（log₂x-2）（

1

2

log2x-

1

2

)=

1

2

(log2x)2-

3

2

log₂x+1
令t=log₂x，
則y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

∵2≤x≤4
∴1≤t≤2
（2）∵y=

1

2

t2-

3

2

t+1=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，ymin=-

1

8

當(dāng)t=1或2時(shí)，y_max=0
∴函數(shù)的值域是[-

1

8

，0]

點(diǎn)評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的值域的求解，二次函數(shù)的值域的求解，屬于二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合考查