【題目】已知函數(shù) .

1)當時,求曲線在點處的切線方程;

2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3求證若函數(shù)處取得極值,則對恒成立.

【答案】(1);(2)當, 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間;, 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間;(3證明見解析.

【解析】試題分析:1)求出,,求出的值可得切點坐標,求出的值,可得切線斜率,利用點斜式可得曲線在點處的切線方程;2分四種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;3,計算得出,取經(jīng)檢驗滿足條件, ,,利用導數(shù)求出的最小值即可得結(jié)果.

試題解析:(1)因為,, ,

, ,

所以曲線在點處的切線方程.

2)因為在, ,

, 上單調(diào)遞減.

, .

, , 單調(diào)遞減;

, , 單調(diào)遞增;

綜上所述,, 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間.

, 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間.

3)因為函數(shù)處取得極值,所以

計算得出,取經(jīng)檢驗滿足條件.

由已知,,

易得在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,

所以,

所以若函數(shù)處取得極值,恒成立.

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線方程以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導數(shù),即在點 出的切線斜率(當曲線處的切線與軸平行時,在 處導數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.

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6548 1176 7417 4685 0950 5804 7769 7473 0395 7186

8012 4356 3517 7270 8015 4531 8223 7421 1157 8263

A.B.C.D.

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