【題目】已知函數(shù)f(x)=(1+x)t﹣1的定義域為(﹣1,+∞),其中實數(shù)t滿足t≠0且t≠1.直線l:y=g(x)是f(x)的圖象在x=0處的切線.
(1)求l的方程:y=g(x);
(2)若f(x)≥g(x)恒成立,試確定t的取值范圍;
(3)若a1,a2∈(0,1),求證: .注:當α為實數(shù)時,有求導(dǎo)公式(xα)′=αxα﹣1.
【答案】(1);(2);(3)見解析
【解析】
(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,求出切點坐標及切線的斜率(切點的導(dǎo)函數(shù)值),可得直線的方程;
(2)構(gòu)造函數(shù),若恒成立,即在上恒成立,即在上的最小值不小于0,分類討論后可得滿足條件的的取值范圍;
(3)分和兩種情況證明結(jié)論,并構(gòu)造函數(shù),先征得是單調(diào)減函數(shù),進而得到結(jié)論.
(1)∵f(x)=(1+x)t﹣1
∴f'(x)=t(1+x)x﹣1,
∴f'(0)=t,
又f(0)=0,
∴l的方程為:y=tx;
(2)令h(x)=f(x)﹣g(x)=(1+x)t﹣tx﹣1,
h'(x)=t(1+x)t﹣1﹣t=t[(1+x)t﹣1﹣1]
當t<0時,(1+x)t﹣1﹣1單調(diào)遞減,
當x=0時,h'(x)=0
當x∈(﹣1,0),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴x=0是h(x)的唯一極小值點,
∴h(x)≥h(0)=0,f(x)≥g(x)恒成立;
當0<t<1時,(1+x)t﹣1﹣1單調(diào)遞減,
當x=0時,h'(x)=0
當x∈(﹣1,0),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當x∈(0,+∞),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
∴x=0是h(x)的唯一極大值點,
∴h(x)≤h(0)=0,不滿足f(x)≥g(x)恒成立;
當t>1時,(1+x)t﹣1﹣1單調(diào)遞增,
當x=0時,h'(x)=0
當x∈(﹣1,0),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴x=0是h(x)的唯一極小值點,
∴h(x)≥h(0)=0,f(x)≥g(x)恒成立;
綜上,t∈(﹣∞,0)∪(1,+∞);
證明:(3)當a1=a2,不等式顯然成立;
當a1≠a2時,不妨設(shè)a1<a2
則
令,x∈[a1,a2]
下證φ(x)是單調(diào)減函數(shù):
∵
易知a1﹣a2∈(﹣1,0),1+a1﹣a2∈(0,1),
由(2)知當t>1,(1+x)t>1+tx,x∈[a1,a2]
∴
∴
∴
∴φ'(x)<0,
∴φ(x)在[a1,a2]上單調(diào)遞減.
∴φ(a1)>φ(a2),
即
∴.
綜上,成立.
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【題目】設(shè)整數(shù)數(shù)列{an}共有2n()項,滿足,,且().
(1)當時,寫出滿足條件的數(shù)列的個數(shù);
(2)當時,求滿足條件的數(shù)列的個數(shù).
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【題目】已知圓C的方程為:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0),若直線3x+y=3上存在一點P,在圓C上總存在不同的兩點M,N,使得點M是線段PN的中點,則圓C的半徑r的取值范圍是________.
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【題目】某學(xué)校為調(diào)查高三年級學(xué)生的身高情況,按隨機抽樣的方法抽取100名學(xué)生,得到男生身高情況的頻率分布直方圖(圖(1))和女生身高情況的頻率分布直方圖(圖(2)).已知圖(1)中身高在的男生人數(shù)有16人.
(1)試問在抽取的學(xué)生中,男,女生各有多少人?
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下列的列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分之幾)的把握認為“身高與性別有關(guān)”?
總計 | |||
男生身高 | |||
女生身高 | |||
總計 |
(3)在上述100名學(xué)生中,從身高在之間的男生和身高在之間的女生中間按男、女性別分層抽樣的方法,抽出6人,從這6人中選派2人當旗手,求2人中恰好有一名女生的概率.
參考公式:
參考數(shù)據(jù):
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】十九大以來,某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康。經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步,農(nóng)民年收入也逐年增加。為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收人力爭早日脫貧的工作計劃,該地扶貧辦統(tǒng)計了2018年位農(nóng)民的年收人并制成如下頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示);
(2)由頻率分布直方圖,可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布,其中近似為年平均收入,近似為樣本方差,經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布,求:
(i)在2019年脫貧攻堅工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準,則最低年收入大約為多少千元?
(ii)為了調(diào)研“精準扶貧,不落一人”的政策要求落實情況,扶貧辦隨機走訪了位農(nóng)民。若每個農(nóng)民的年收人相互獨立,問:這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少?
附:參考數(shù)據(jù)與公式
則①;②;③.
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【題目】據(jù)《人民網(wǎng)》報道,“美國國家航空航天局( NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國和印度的行動主導(dǎo)了地球變綠.”據(jù)統(tǒng)計,中國新增綠化面積的420/0來自于植樹造林,下表是中國十個地區(qū)在2017年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)
單位:公頃
按造林方式分 | ||||||
地區(qū) | 造林總面積 | 人工造林 | 飛播造林 | 新封山育林 | 退化林修復(fù) | 人工更新 |
內(nèi)蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 221117 | 15376 | 133 |
重慶 | 226333 | 100600 | 、 62400 | 63333 | ||
陜西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肅 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
寧夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012、 | 4000 | 3999 | 1053 |
(1)請根據(jù)上述數(shù)據(jù),分別寫出在這十個地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);
(2)在這十個地區(qū)中,任選一個地區(qū),求該地區(qū)人工造林面積與造林總面積的比值不足50%的概率是多少?
(3)從上表新封山育林面積超過十萬公頃的地區(qū)中,任選兩個地區(qū),求至少有一個地區(qū)退化林修復(fù)面積超過五萬公頃的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為坐標原點,焦點在軸上,離心率,以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點,是否存在直線 ,使得到直線的距離滿足恒成立,若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b為實數(shù),函數(shù).
(1)已知,討論的奇偶性;
(2)若,①若,求在上的值域;
②若,解關(guān)于x的不等式.
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【題目】已知函數(shù)f (x)=若函數(shù)f (x)的圖象與直線y=x有三個不同的公共點,則實數(shù)a的取值集合為________.
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