Question

【題目】如圖1所示，在中， ， ， ， 為的平分線，點(diǎn)在線段上， ．如圖2所示，將沿折起，使得平面平面，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)．

圖1 圖2

（1）求證： 平面；

（2）在圖2中，若平面，其中為直線與平面的交點(diǎn)，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，證明，利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明平面；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),因?yàn)槠矫?/span>平面， 平面，所以平面,求得，利用棱錐的體積公式，即可求三棱錐的體積.

試題解析：（1）在題圖1中，因?yàn)?/span>， ， ，所以．

因?yàn)?/span>為的平分線，所以，

所以．

又因?yàn)?/span>， ，所以

則，所以，即

在題圖2中，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面， 平面，

所以平面．

（2）在題圖2中，因?yàn)?/span>平面， 平面，平面平面，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上， ，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)

因?yàn)槠矫?/span>平面， 平面，所以平面

由條件得

又 ，

所以三棱錐的體積為 ．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的性質(zhì)、棱錐的體積公式，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.