Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（，），直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，方程=1所對應(yīng)的曲線經(jīng)過伸縮變換后的圖形為曲線C．
（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)系方程．
（Ⅱ）直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定P的直角坐標(biāo)，利用直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，可得直線l的參數(shù)方程；確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入方程，化簡可得結(jié)論；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程，代入曲線方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|PA|•|PB|的值．
解答：解：（Ⅰ）P的直角坐標(biāo)為（1，1）
∵直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）
∵伸縮變換，∴
代入=1，可得，即x′²+y′²=4
∴曲線C的直角坐標(biāo)系方程為x²+y²=4；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為，代入曲線C可得t²+（）t-2=0
設(shè)方程的根為t₁，t₂，則t₁+t₂=；t₁t₂=-2
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=2
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的參數(shù)方程，考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．