函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)=x2+2x
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
(Ⅲ)若h(x)=g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函數(shù),求實數(shù)λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)在函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點Q(x0,y0),設(shè)關(guān)于原點的對稱點為P(x,y),再由中點坐標公式,求得Q的坐標代入f(x)=x2+2x即可.
(Ⅱ)將f(x)與g(x)的解析式代入轉(zhuǎn)化為2x2-|x-1|≤0,再通過分類討論去掉絕對值,轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.
(Ⅲ)將f(x)與g(x)的解析式代入可得h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1,再用二次函數(shù)法研究其單調(diào)性.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點Q(x0,y0)關(guān)于原點的對稱點為P(x,y),
x0+x
2
=0
y0+y
2
=0
x0=-x
y0=-y.

∵點Q(x0,y0)在函數(shù)y=f(x)的圖象上
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
當x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解.
當x<1時,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤
1
2

因此,原不等式的解集為[-1,
1
2
]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
①當λ=-1時,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函數(shù),∴λ=-1
②當λ≠-1時,對稱軸的方程為x=
1-λ
1+λ

。┊敠耍-1時,
1-λ
1+λ
≤-1
,解得λ<-1.
ⅱ)當λ>-1時,
1-λ
1+λ
≥1
,解得-1<λ≤0.綜上,λ≤0.
點評:本題主要考查求對稱區(qū)間上的解析式,解不等式及研究函數(shù)的單調(diào)性,屬中檔題.
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5、若函數(shù)f(x)和g(x)的定義域、值域都是R,則不等式f(x)>g(x)有解的充要條件是( 。

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設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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(2012•綿陽二模)對于具有相同定義域D的函數(shù)f(x)和g(x),若對任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在D上是“密切函數(shù)”.給出定義域均為D={x|1≤x≤3}的四組函數(shù)如下:
①f(x)=x2-x+1,g(x)=3x-2
②f(x)=x3+x,g(x)=3x2+x-1
③f(x)=log2(x+1),g(x)=3-x
④f(x)=
3
2
sin(
π
3
x+
π
3
),g(x)=
1
4
cos
π
3
x-
3
4
sin
π
3
x
其中,函數(shù)f(x)印g(x)在D上為“密切函數(shù)”的是
①④
①④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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