Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知f（x）=log

1

2

x，當(dāng)點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x-2，ny）在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)Hn(x)=2gn(x)，函數(shù)F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動可得y=log₂x，點N（x-2，ny）函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運動可得 g_n（x-2）=ny故 g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=g_n（x）的表達式．
（2）由（1）可得要使關(guān)于x的方程 g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，a∈R，可得：（x+2）²=x+a在x＞-2有實根即a=（x+2）²-x在x＞-2有實根即只需求出（x+2）²-x在x＞-2的范圍即為a的范圍．
（3）由（1）可得F（x）=

1

x+2

+log 

1

2

（x+2）（x＞-2）再根據(jù)）

1

x+2

和log 

1

2

（x+2）的單調(diào)性得出F（x）的單調(diào)性，從而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]可列出等式求出a，b的值．

解答：解：（1）由

y=f(x) ny=gn(x-2)

，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog

1

2

x，
所以gn(x)=nlog

1

2

(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log

1

2

(x+2)=2log

1

2

(x+a)，
即

x+2

=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+

x+2

，令t=

x+2

＞0，
所以a=-t2+t+2≤

9

4

，
當(dāng)x=-

7

4

時，a=

9

4

．
即實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

9

4

]（10分）
（3）因為Hn(x)=2nlog

1

2

(x+2)=

1

(x+2)n

，
所以F(x)=

1

x+2

+log

1

2

(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是減函數(shù)．（12分）
所以

F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

即

1 a+2 +log 1 2 (a+2)=log2 4 2 a+2 1 b+2 +log 1 2 (b+2)=log2 5 2 b+2

，
所以

a=2 b=3

（16分）

點評：本題主要考查了求函數(shù)的解析式以及求利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．解題的關(guān)鍵是首先要利用點M點N所滿足的關(guān)系式求出y=g_n（x）的表達式（這種方法也叫相關(guān)點法求函數(shù)的解析式）然后作為橋梁再求解第二問，而對于第二問要求a的范圍常采用將a解出來轉(zhuǎn)化為球已知函數(shù)的值域問題．第三問是在第一問的基礎(chǔ)上求出F（x）然后利用其單調(diào)性求其值域．因此第一問為下面兩問做了鋪墊股第一問的正確解答就顯得尤為重要了！