【題目】平面內(nèi)一個(gè)整點(diǎn)的有限集稱為一個(gè)雙鄰集,如果對(duì)內(nèi)每個(gè)點(diǎn),恰有點(diǎn)、、中的兩點(diǎn)在內(nèi).問對(duì)怎樣的正整數(shù),存在一個(gè)雙鄰集恰包含個(gè)整點(diǎn)?

【答案】(偶數(shù)).

【解析】

先證明結(jié)論:

一個(gè)雙鄰集恰包含個(gè)整點(diǎn),則必為偶數(shù).將橫縱坐標(biāo)中一個(gè)相同,另一個(gè)相差1的兩整點(diǎn)叫作互為相鄰整點(diǎn).用線段連結(jié)中的相鄰整點(diǎn).因?yàn)?/span>中每一整點(diǎn)恰連出兩條線段,因此,雙鄰集內(nèi)全部整點(diǎn)可用連結(jié)相鄰整點(diǎn)的線段組成有限個(gè)不自交的閉折線圖形.

在每一閉折線圖形中,每?jī)蓚(gè)相鄰整點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和只相差1,橫縱坐標(biāo)之和依次為偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、……,交替出現(xiàn).由于是閉折線,則任一個(gè)閉折線圖形整點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè).

再證:(偶數(shù)).

當(dāng)時(shí),2個(gè)整點(diǎn)顯然無法構(gòu)成一個(gè)雙鄰集.

當(dāng)時(shí),由于3個(gè)及3個(gè)以下的整點(diǎn)無法組

成閉折線圖形,則6個(gè)整點(diǎn)要成為一個(gè)雙鄰集,6個(gè)點(diǎn)組成的閉折線圖形只能是圖5所示的兩圖形之一.

圖中兩圖形顯然都不是雙鄰集.

4個(gè)整點(diǎn)、、、恰組成一個(gè)雙鄰集(邊長(zhǎng)為1的正方形),則.

注意到10個(gè)整點(diǎn)、、、、、、也組成一個(gè)雙鄰集(長(zhǎng)為3寬為2的矩形邊上的10個(gè)整點(diǎn)).

因此,當(dāng)時(shí),取個(gè)4整點(diǎn)組成的雙鄰集,每?jī)蓚(gè)雙鄰集的距離(一個(gè)相鄰集中任一點(diǎn)到另一雙鄰集中任一點(diǎn)距離的最小值)大于1,將這個(gè)4整點(diǎn)雙鄰集合并為一個(gè)集合,這個(gè)集合當(dāng)然是恰含4個(gè)整點(diǎn)的雙鄰集.

當(dāng)時(shí),由于,取個(gè)4整點(diǎn)組成的雙鄰集,取一個(gè)10整點(diǎn)組成的雙鄰集,每?jī)蓚(gè)雙鄰集的距離大于1.將這個(gè)4整點(diǎn)雙鄰集與一個(gè)10整點(diǎn)雙鄰集合并為一個(gè)集合,這個(gè)集合當(dāng)然是恰含個(gè)整點(diǎn)的雙鄰集.

因此,(偶數(shù)).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求的單調(diào)區(qū)間;

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求證:平面;

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2)設(shè)bn=,若{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn

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附:參考數(shù)據(jù)與公式 ,若 ,則① ;② ;③ .

1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入(單位:千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示);

2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入 X 服從正態(tài)分布 ,其中近似為年平均收入 近似為樣本方差 ,經(jīng)計(jì)算得:,利用該正態(tài)分布,求:

i)在2019年脫貧攻堅(jiān)工作中,若使該地區(qū)約有占總農(nóng)民人數(shù)的84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn),則最低年收入大約為多少千元?

ii)為了調(diào)研精準(zhǔn)扶貧,不落一人的政策要求落實(shí)情況,扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立,問:這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少?

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【題目】如圖,在三棱錐中, ,平面 平面, 分別為、的中點(diǎn).

(1)求證: 平面

(2)求證: ;

(3)求三棱錐的體積.

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A. B. C. D.

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