Question

【題目】已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，設(shè).

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，；（3）證明見解析

【解析】

（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷其增減性，從而確定，的表達(dá)式，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）由計(jì)算，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，利用分組求和和錯(cuò)位相減法求和計(jì)算即可得到答案；

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，則，討論，三種情況，分別證明數(shù)列為等差數(shù)列即可.

（1）由得是遞增數(shù)列，

所以，

所以.

（2）由得，

當(dāng)，，即；

當(dāng)，，即.

又，

所以，當(dāng)時(shí)，，

所以，

當(dāng)時(shí)，令，

則，即.

所以

.

綜上所述，，當(dāng)時(shí)，.

（3）設(shè)數(shù)列的公差為，

則，

由題意，

①，對(duì)任意都成立，

即，所以是遞增數(shù)列.

所以，

所以，

所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；

②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都成立，

進(jìn)面，

所以是遞減數(shù)列.，

所以

所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；

③當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>與中至少有一個(gè)為0，

所以二者都為0，進(jìn)而可得數(shù)列為常數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列為等差數(shù)列.