Question

【題目】已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.

（1）證明：平面平面；

（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案。

（1）證明：在等腰梯形，，

易得

在中，，

則有，故，

又平面，平面，，

即平面，故平面丄平面.

（2）在梯形中，設，

，，

，而,

即，.

以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標系，則，，

設平面的法向量為，

由得，

取，得，，

同理可求得平面的法向量為，

設二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.