Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1（a＞0）的定義域?yàn)镽，當(dāng)-

7π

12

≤x≤-

π

12

時(shí)，f（x）的最大值為2
（1）求a的值
（2）用五點(diǎn)法作出該函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象
（3）寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和輔助角公式把函數(shù)f（x）化為y=Asin（ωx+φ）+h的形式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，又因?yàn)橐阎�函�?shù)的最大值為2，就可求出參數(shù)a的值．
（2）利用“五點(diǎn)法”作圖，令2x+

π

3

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出對(duì)應(yīng)的x與y的值，就可得到函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出見(jiàn)圖．
（3）令2x+

π

3

屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間，解出x的范圍即為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x的值為函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的圖象是函數(shù)y=2sin(2x+

π

3

)的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為1．就可得到函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對(duì)稱(chēng)中心．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx+

3

acos²x-

3

2

a+1
=

asin2x

2

+

3 a(cos2x+1)

2

-

3 a

2

+1
=

asin2x

2

+

3 acos2x

2

+1
=a（sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

）+1
=asin（2x+

π

3

）+1
當(dāng)-

7π

12

≤x≤-

π

12

，則-

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

6

∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

6

，f（x）有最大值為

a

2

+1，
又∵f（x）的最大值為2，∴

a

2

+1=2，
解得：a=2．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令2x+

π

3

分別取0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，則對(duì)應(yīng)的x與y的值如下表

x	- π 6	π 12	π 3	7π 12	5π 6
2x+ π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
y	1	3	-1	1	3

畫(huà)出函數(shù)在區(qū)間[-

π

6

，

5π

6

]的圖象如下圖

（2）f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得，-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈z
∴函數(shù)的增區(qū)間為[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ]，k∈z．
令2x+

π

3

=kπ，k∈Z，解得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∴函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又∵函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的圖象是函數(shù)y=2sin(2x+

π

3

)的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
∴函數(shù)f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1的對(duì)稱(chēng)中心的縱坐標(biāo)為1．
∴對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為（

kπ

2

-

π

6

，1）k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查應(yīng)用三角函數(shù)的公式把三角函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+φ）+h的形式，再求圖象與性質(zhì)，屬于三角函數(shù)的綜合題．