Question

設f(x)=2sin(

π

2

-

x

2

)sin(π+

x

2

)+cos2(

π

2

-

x

2

)-cos2(π+

x

2

)
（1）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最小值；
（2）設g （x）=f(2x-

π

4

)+2m，x∈[

π

4

，

7π

8

]，若g （x）有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用誘導公式及輔助角公式對函數化簡可得，f(x)=-

2

sin(x+

π

4

)，結合正弦函數的性質可求
（2）由函數g（x）有兩個零點可得方程-

2

sin2x+2m=0當x∈[

π

4

，

7π

8

]時有兩個解轉化為y=2m與y=

2

sin2x，x∈[

π

4

，

7π

8

]圖象有兩個交點，從而可求．

解答：解：（1）∵f(x)=2sin(

π

2

-

x

2

)sin(π+

x

2

)+cos2(

π

2

-

x

2

)-cos2(π+

x

2

)
=-2cos

1

2

xsin

1

2

x+sin2

1

2

x-cos2

1

2

x
∴f(x)=-sinx-cosx=-

2

sin(x+

π

4

)（3分）
∵

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

4

∴x=

π

4

，fmin=-

2

（5分）
（2）設g（x）=-

2

sin2x+2m，x∈[

π

4

，

7π

8

]（7分）
∵函數g（x）有兩個零點
∴方程-

2

sin2x+2m=0當x∈[

π

4

，

7π

8

]時有兩個解（9分）
∴y=2m與y=

2

sin2x，x∈[

π

4

，

7π

8

]圖象有兩個交點
則-

2

＜2m≤-1
∴-

2

2

＜m≤-

1

2

（12分）

點評：誘導公式、輔助角公式一直是三角函數的常用知識，而方程的零點常轉化為函數的交點問題，體現了數形結合與轉化的思想在解題中的應用．