Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＜0時，求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=0時，f（x）=2lnx+ ，f′（x）= ﹣ = ，
令f′（x）=0，解得x= ，
當0＜x＜ 時，f′（x）＜0；
當x≥ 時，f′（x）＞0
又∵f（ ）=2﹣ln2
∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無極大值．
（Ⅱ）f′（x）= ﹣ +2a=
當a＜﹣2時，﹣ ＜ ，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣ 或x＞ ，
令f′（x）＞0 得﹣ ＜x＜ ；
當﹣2＜a＜0時，得﹣ ＞ ，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜ 或x＞﹣ ，
令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；
當a=﹣2時，f′（x）=﹣ ≤0，
綜上所述，當a＜﹣2時f（x），的遞減區(qū)間為（0，﹣ ）和（ ，+∞），遞增區(qū)間為（﹣ ， ）；
當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0， ）和（﹣ ，+∞），遞增區(qū)間為（ ，﹣ ）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當a∈（﹣3，﹣2）時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
當x=1時，f（x）取最大值；
當x=3時，f（x）取最小值；
|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3+ +6a]= ﹣4a+（a﹣2）ln3，
∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
∴（m+ln3）a﹣2ln3＞ ﹣4a+（a﹣2）ln3
整理得ma＞ ﹣4a，
∵a＜0，∴m＜ ﹣4恒成立，
∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣ ＜ ﹣4＜﹣ ，
∴m≤﹣
【解析】（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2lnx+ ，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解方程，分析導(dǎo)數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；（Ⅱ）當a＜0時，求導(dǎo)，對導(dǎo)數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數(shù)m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．