Question

函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上所有零點(diǎn)之和為            ．

Answer 1

8

試題分析：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴，又∵函數(shù)，∴∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)出現(xiàn)的．∴函數(shù)在[-6，6]上所有的零點(diǎn)的和為0，∴函數(shù)在[-6，+∞）上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在（6，+∞）上所有的零點(diǎn)之和．由0＜x≤2時(shí)，，即∴函數(shù)在（0，2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060207666425.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，=1；
又∵當(dāng)x＞2時(shí)，
∴函數(shù)在（2，4]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060207760494.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)x=４時(shí)，=；
函數(shù)在（４，６]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060207822510.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)x=６時(shí)，=；
函數(shù)在（６，８]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060207900551.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)x=８時(shí)，=；
函數(shù)在（８，10]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060207978606.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，=；
故在（8，10]上恒成立，
注意到的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
所以在（8，10]上無(wú)零點(diǎn);
同理在（10，12]上無(wú)零點(diǎn);
依此類(lèi)推，函數(shù)在（8，+∞）無(wú)零點(diǎn);
綜上函數(shù)在[-6，+∞）上的所有零點(diǎn)之和為8;故應(yīng)填入:8.
如下圖: