已知橢圓的長軸兩端點(diǎn)分別為，是橢圓上的動點(diǎn)，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點(diǎn)時，的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，列出關(guān)于的方程求解；（Ⅱ）用坐標(biāo)表示各點(diǎn)，然后求出的長，計算比較即可.
試題解析：（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時，過點(diǎn)，，
∵的面積為12，，即．①               2分
此時，直線方程為．
∴點(diǎn)到的距離． ②    4分
由①②解得．            6分
∴所求橢圓方程為．      7分
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)時，，設(shè)，
由三點(diǎn)共線，及，
（說明：也可通過求直線方程做）
得，
，即．  9分
由三點(diǎn)共線，及，
得，
，即．  11分
又，.            13分
而．  15分
，即有成等比數(shù)列．                      16分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、等比數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知經(jīng)過點(diǎn)A（－4，0）的動直線l與拋物線G：相交于B、C，當(dāng)直線l的斜率是時，．
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（Ⅱ）設(shè)線段BC的垂直平分線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，其中在第一象限．過作軸的垂線，垂足為．連接，并延長交橢圓于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為．

（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時，求的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求點(diǎn)到直線的距離；
（Ⅲ）對任意，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為．
(1)求點(diǎn)軌跡的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，試求面積的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線過點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時,三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過點(diǎn),為橢圓上的動點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個交點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的四個頂點(diǎn)恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l:x+y-3=0上存在點(diǎn)P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，
以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
⑴ 求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
⑵ 當(dāng)時，曲線和相交于、兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.

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同步練習(xí)冊答案