Question

【題目】已知函數(shù)（a，）.

（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；

（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若，，試討論是否存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；a的值為（3）答案不唯一，具體見(jiàn)解析

【解析】

（1），，討論和兩種情況，分別計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到參數(shù).

（2），根據(jù)題意，計(jì)算得到，，計(jì)算得到答案.

（3），，故必須在上有解，解方程得到答案.

（1）若，則，，

若，則在，則，則在上單調(diào)遞增，

又，故在上無(wú)零點(diǎn)，舍；

若，令，得，，，

在上，，在上單調(diào)遞減，

在上，，在上單調(diào)遞增，

故，

若，則，在上無(wú)零點(diǎn)，舍；

若，則，在上恰有一零點(diǎn)，此時(shí)；

若，則，，，

則在和上有各有一個(gè)零點(diǎn)，舍；

故a的值為.

（2）因?yàn)?/span>，則，若有三個(gè)不同零點(diǎn)，且成等差數(shù)列，可設(shè)，

故，則，故，，.

此時(shí)，，，故存在三個(gè)不同的零點(diǎn).

故符合題意的a的值為.

（3）若，，，

∴若存在，使得，

必須在上有解.

，

方程的兩根為：，，

只能是，

依題意，即，

即，

又由，得，故欲使?jié)M足題意的存在，則，

∴當(dāng)時(shí)，存在唯一的滿(mǎn)足，

當(dāng)時(shí)，不存在使.