【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣alnx(a>0)的最小值是1.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f2(x)ex﹣6mf(x)+9mex=0在區(qū)間[1,+∞)有唯一的實(shí)根,求m的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣ = ,(x>0), 所以,當(dāng)0<x< 時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x> 時(shí),f′(x)>0,
故f(x)min=f( )= ln ,
由題意可得: ln =1,即 ln ﹣1=0,
記g(a)= ln ﹣1,(a>0),
則函數(shù)g(a)的零點(diǎn)即為方程 ln =1的根;
由于g′(a)=﹣ ln ,故a=2時(shí),g′(2)=0,
且0<a<2時(shí),g′(a)>0,a>2時(shí),g′(a)<0,
所以a=2是函數(shù)g(a)的唯一極大值點(diǎn),
所以g(a)≤g(2),又g(2)=0,
所以a=2.
(II)由條件可得f2(x)e2x﹣6mf(x)ex+9m=0,
令g(x)=f(x)ex=(x2﹣2lnx)ex ,
則g′(x)=(x2+2x﹣ ﹣2lnx)ex ,
令r(x)=x2+2x﹣ ﹣2lnx(x≥1),
,
r(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
∴g(x)≥g(1)=e;
所以原問(wèn)題等價(jià)于方程t2﹣6mt+9m=0在區(qū)間[e,+∞)內(nèi)有唯一解,
當(dāng)△=0時(shí)可得m=0或m=1,經(jīng)檢驗(yàn)m=1滿足條件,
當(dāng)△>0時(shí)可得m<0或m>1,
所以e2﹣6me+9m≤0,解之得:m≥ ,
綜上,m的取值范圍是{m|m=1或m≥ }
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出f(x)的最小值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ln ﹣1=0,記g(a)= ln ﹣1,(a>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可;(Ⅱ)由條件可得f2(x)e2x﹣6mf(x)ex+9m=0,令g(x)=f(x)ex=(x2﹣2lnx)ex , 原問(wèn)題等價(jià)于方程t2﹣6mt+9m=0在區(qū)間[e,+∞)內(nèi)有唯一解,通過(guò)討論△的符號(hào),求出m的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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A.
B.﹣
C.
D.

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A.( ,9)
B.[ ,9]
C.(0, ]∪[9,+∞)
D.(0, )∪(9,+∞)

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A.
B.
C.
D.

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A.30m
B.40m
C. m
D. m

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A.x0<a
B.0<x0<1
C.b<x0<c
D.a<x0<b

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