【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且過坐標(biāo)原點(diǎn)O,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)()在二次函數(shù)的圖象上.

(1)求數(shù)列的表達(dá)式;

(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項(xiàng),,,,…,…(),這些項(xiàng)能夠依次構(gòu)成以為首項(xiàng),q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說明理由.

【答案】(1) () (2)見解析 (3) 存在,,().

【解析】

(1)先求出,通過討論n的范圍,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)通過討論n的奇偶性,從而求出的表達(dá)式,問題轉(zhuǎn)化為使(n為正偶數(shù))恒成立即可;

(3)通過討論公比的奇偶性,從而得到答案.

(1)由題意得,

(),

當(dāng)時,,

當(dāng)時,適合上式,

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是:();

(2)∵,(),

,

由(1)得:數(shù)列是以1為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,

①當(dāng),時,

,

,

②當(dāng),時,

,

,要使恒成立,

只要使(n為正偶數(shù))恒成立,

即使n為正偶數(shù)恒成立.

;

(3)由知,數(shù)列中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù),

①如存在以為首項(xiàng),公比q24的數(shù)列,,此時中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù),

故不存在以為首項(xiàng),公比為偶數(shù)的數(shù)列;

時,顯然不存在這樣的數(shù)列,

時,若存在以為首項(xiàng),公比為3的數(shù)列,,則,

,,,

∴存在滿足條件的數(shù)列,且,().

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【題目】設(shè)橢圓,定義橢圓C相關(guān)圓E:.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合,且橢圓C的短軸長與焦距相等.

1)求橢圓C及其相關(guān)圓E的方程;

2)過相關(guān)圓E上任意一點(diǎn)P作其切線l,若l 與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn));

3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.

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【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為21,左焦點(diǎn)F(﹣2,0),一定點(diǎn)為P(﹣8,0).

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點(diǎn),設(shè)直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0

3)求△P1P2F面積的最大值.

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【題目】某農(nóng)場規(guī)劃將果樹種在正方形的場地內(nèi).為了保護(hù)果樹不被風(fēng)吹,決定在果樹的周圍種松樹. 在下圖里,你可以看到規(guī)劃種植果樹的列數(shù)(n),果樹數(shù)量及松樹數(shù)量的規(guī)律:

1)按此規(guī)律,n = 5時果樹數(shù)量及松樹數(shù)量分別為多少;并寫出果樹數(shù)量,及松樹數(shù)量關(guān)于n的表達(dá)式

2)定義: 增加的速度;現(xiàn)農(nóng)場想擴(kuò)大種植面積,問:哪種樹增加的速度會更快?并說明理由

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【題目】如圖所示,在長方體中,AD=2,AB=AE=1M為矩形AEHD內(nèi)的一點(diǎn),如果∠MGF=MGHMG和平面EFG所成角的正切值為那么點(diǎn)M到平面EFGH的距離是_____.

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【題目】定義:對于數(shù)列,如果存在常數(shù),使對任意正整數(shù),總有成立,那么我們稱數(shù)列﹣擺動數(shù)列

1)設(shè),,,判斷數(shù)列、是否為﹣擺動數(shù)列,并說明理由;

2)已知﹣擺動數(shù)列滿足:,.求常數(shù)的值;

3)設(shè),,且數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:數(shù)列﹣擺動數(shù)列,并求出常數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點(diǎn)A、B

1)求橢圓M的方程;

2)設(shè)P(﹣2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個交點(diǎn)為D,若C、D與點(diǎn)共線,求斜率k的值.

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【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費(fèi)情況,從該市使用其平臺且每周平均消費(fèi)額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求的值;

2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)?

(3)分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

列聯(lián)表

男性

女性

合計(jì)

消費(fèi)金額

消費(fèi)金額

合計(jì)

臨界值表:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

,其中

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【題目】某校辨論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場辨論賽,分別由正、副隊(duì)長負(fù)責(zé),已知該校辯論隊(duì)共有10位成員(包含正、副隊(duì)長),每場比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員(同一隊(duì)員可同時參加兩天的比賽,正、副隊(duì)長只能參加一場比賽).假設(shè)正副隊(duì)長分別將各自比賽通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.

1)求辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的概率;

2)記辯論隊(duì)收到正副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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