Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點B₁在底面上的射影D落在BC上．

（1）若點D恰為BC的中點，且AB₁⊥BC₁求α的值．
（2）若α=arccos，且當AC=BC=AA₁時，求二面角C₁-AB-C的大小．

Answer 1

解：（1）∵B₁D⊥面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C．
∵AB₁⊥BC₁，
∴由三垂線定理可知，B₁C⊥BC₁，即平行四邊形BB₁C₁C為菱形，
又∵B₁D⊥BC，且D為BC的中點，
∴B₁C=B₁B，即△BB₁C為正三角形，
∴∠B₁BC=60°，
∵B₁D⊥面ABC，且點D落在BC上，
∴∠B₁BC即為側棱與底面所成的角，
∴α=60°．
（2）過C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，則C₁E⊥平面ABC．過E作EF⊥AB，垂足為F，由三垂線定理得⊥F⊥AB．
∴根據二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．
設AC=BC=A₁A=a，
在Rt△CC₁E中，由∠C₁CE=α=srccos可得C₁E=a，
所以在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a，
所以∠C₁FE=45°．
故所求的二面角C₁-AB-C為45°．
分析：（1）由題意可得：B₁D⊥AC，再結合題意得到：AC⊥面BB₁C₁C，得到平行四邊形BB₁C₁C為菱形，再根據解三角形的有關知識可得：∠B₁BC=60°，進而結合線面角的定義得到答案．
（2）過C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，則C₁E⊥平面ABC．過E作EF⊥AB，垂足為F，則根據二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角，吧平面角放入直角三角形，進而利用解三角形的有關知識求出二面角的平面角．
點評：本題考查求二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關鍵是做角，由圖形的結構及題設條件正確作出平面角來，是求角的關鍵，也可以根據幾何體的結構特征建立空間直角坐標系利用向量的有關知識解決空間角等問題．