Question

設是函數(shù)的一個極值點．

       （1）求與的關系式（用表示），并求的單調區(qū)間；

       （2）設，．若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f `（x）＝－[x²＋（a－2）x＋b－a ]e^3－x,

由f `（3）=0，得 －[3²＋（a－2）3＋b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，---------------2分

則 f `（x）＝[x²＋（a－2）x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²＋（a－2）x－3－3a ]e^3－x＝－（x－3）（x＋a+1）e^3－x．

令f `（x）＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是極值點，

所以，那么a≠－4．

當a<－4時，x₂>3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，3）上，f `（x）<0， f （x）為減函數(shù)；

在區(qū)間（3，―a―1）上，f `（x）>0，f （x）為增函數(shù)；

在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）為減函數(shù)．-----------------------4分

當a>－4時，x₂<3＝x₁，則

在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f `（x）<0， f （x）為減函數(shù)；

在區(qū)間（―a―1，3）上，f `（x）>0，f （x）為增函數(shù)；

在區(qū)間（3，＋∞）上，f `（x）<0，f （x）為減函數(shù)．-------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f （x）在區(qū)間（0，3）上的單調遞增，在區(qū)間（3，4）上單調遞減，那么f （x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[min{f （0），f （4） }，f （3）]，

而f （0）＝－（2a＋3）e³<0，f （4）＝（2a＋13）e^－1>0，f （3）＝a＋6，

那么f （x）在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6]．--------------------8分

又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，-----------------10分

由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只須僅須

（a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<．

故a的取值范圍是（0，）．-----------------------------------------------12分