【題目】如圖1,梯形中,,過(guò)分別作,垂足分別為、.,已知,將梯形沿,同側(cè)折起,得空間幾何體,如圖2.

(1)若,證明:平面;

(2)在(1)的條件下,若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)

【解析】

1)先證平面,得到,結(jié)合,可證得平面;

2)以,,分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求出面ADF與面ACF的法向量,利用夾角公式,求出兩法向量夾角的余弦值,由圖可知二面角為銳角,則它的余弦值為正值,即可得到本題答案.

(1)由已知得四邊形是正方形,且邊長(zhǎng)為2,

在圖2中,,由已知得,,∴平面,

平面,∴,又,,∴平面.

(2)在圖2中,由(1)知,,兩兩垂直,

為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,分別為軸,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,,

,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,不妨取,得,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,取,得

.

由圖可得,二面角為銳角,所以它的余弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)若,,求的值域;

2)當(dāng)時(shí),求的最小值;

3)是否存在實(shí)數(shù)、,同時(shí)滿(mǎn)足下列條件:① ;② 當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí),其值域?yàn)?/span>.若存在,求出、的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,平面 平面,四邊形為正方形,為等邊三角形,中點(diǎn),平面與棱交于點(diǎn).

Ⅰ)求證:

Ⅱ)求證:平面;

(III)記四棱錐的體積為,四棱錐的體積為,直接寫(xiě)出的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

(2)對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式,因其具有快捷、商品種類(lèi)齊全、性?xún)r(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中x=1”表示2015年,x=2”表示2016年,依次類(lèi)推;y表示人數(shù))

x

1

2

3

4

5

y(萬(wàn)人)

20

50

100

150

180

1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人;

2)該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者,特別推出玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費(fèi)購(gòu)物券活動(dòng),網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車(chē)在方格圖上行進(jìn). 若遙控車(chē)最終停在勝利大本營(yíng),則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元;若遙控車(chē)最終停在失敗大本營(yíng),則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、、第20格。遙控車(chē)開(kāi)始在第0格,網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子,遙控車(chē)向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù),遙控車(chē)向前移動(dòng)一格(從)若擲出偶數(shù)遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格(從),直到遙控車(chē)移到第19格勝利大本營(yíng))或第20格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束。設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值.

附:在線性回歸方程中,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某地政府為改善居民的住房條件,集中建設(shè)一批經(jīng)適樓房.用了1400萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)了一塊空地,規(guī)劃建設(shè)8幢樓,要求每幢樓的面積和層數(shù)等都一致,已知該經(jīng)適房每幢樓每層建筑面積均為250平方米,第一層建筑費(fèi)用是每平方米3000元,從第二層開(kāi)始,每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加80元.

1)若該經(jīng)適樓房每幢樓共層,總開(kāi)發(fā)費(fèi)用為萬(wàn)元,求函數(shù)的表達(dá)式(總開(kāi)發(fā)費(fèi)用=總建筑費(fèi)用+購(gòu)地費(fèi)用);

2)要使該批經(jīng)適房的每平方米的平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用最低,每幢樓應(yīng)建多少層?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】隨著通識(shí)教育理念的推廣及高校課程改革的深入,選修課越來(lái)越受到人們的重視.國(guó)內(nèi)一些知名院校在公共選修課的設(shè)置方面做了許多有益的探索,并且取得了一定的成果.因?yàn)檫x修課的課程建設(shè)處于探索階段,選修課的教學(xué)、管理還存在很多的問(wèn)題,所以需要在通識(shí)教育的基礎(chǔ)上制定科學(xué)的、可行的解決方案,為學(xué)校選修課程的改革與創(chuàng)新、課程設(shè)置、考試考核、人才培養(yǎng)提供參考.某高校采用分層抽樣法抽取了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的50名參加選修課與不參加選修課的學(xué)生的成績(jī),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

成績(jī)優(yōu)秀

成績(jī)不夠優(yōu)秀

總計(jì)

參加選修課

16

9

25

不參加選修課

8

17

25

總計(jì)

24

26

50

1)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法你能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)優(yōu)秀與是否參加選修課有關(guān),并說(shuō)明理由;

2)如果從數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)隨機(jī)抽取5名學(xué)生,求抽到參加選修課的學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望(將頻率當(dāng)做概率計(jì)算).

參考公式:,其中.

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于函數(shù),下列個(gè)結(jié)論正確的是__________(把你認(rèn)為正確的答案全部寫(xiě)上).

(1)任取,都有;

(2)函數(shù)上單調(diào)遞增;

(3),對(duì)一切恒成立;

(4)函數(shù)個(gè)零點(diǎn);

(5)若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根,,則.

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