Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），且在點處的切線的斜率為，函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值1，無極大值.（2）最大值為.

【解析】

（1）首先根據(jù)在點處的切線的斜率為，得到，再求單調(diào)區(qū)間和極值即可.

（2）令，通過求導(dǎo)，討論的范圍得到：當(dāng)時，，再構(gòu)造，求其單調(diào)區(qū)間和最值即可得到的最大值.

（1）由已知得，在點處的切線的斜率為，

所以，從而，.

因為，在上遞增，且，

所以當(dāng)時，；時，，

的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，

所以，無極大值.

（2）

令，得，

①當(dāng)時，

在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，與相矛盾；

②當(dāng)時，

，此時；

③當(dāng)時，

，得，

所以在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù).

當(dāng)時，，

即，

所以（其中）.

令，則，

∴，，

所以在，為增函數(shù)，在，為減函數(shù).

當(dāng)時，，

即：當(dāng)時，的最大值為，

所以的最大值為.

綜上所述：的最大值為.