【題目】已知橢圓的離心率為,過橢圓E的左焦點且與x軸垂直的直線與橢圓E相交于的P,Q兩點,O為坐標原點,的面積為.

1)求橢圓E的方程;

2)點M,N為橢圓E上不同兩點,若,求證:的面積為定值.

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

1)離心率提供一個等式,是橢圓的通徑,通徑長為,這樣的面積又提供一個等式,兩者聯(lián)立方程組結(jié)合,可求得得橢圓標準方程.

2)設,由,當直線的斜率存在時,設直線的方程為,代入橢圓方程并整理,得.應用韋達定理得,代入 可得的關系,注意,然后由圓錐曲線中的弦長公式計算弦長,求出到直線的距離,求得的面積,化簡可得為定值,同樣直線的不斜率存在時,也求得的面積和剛才一樣,即得結(jié)論.

1)設橢圓的半焦距為c,則

過橢圓左焦點且與x軸垂直的直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立解得,

所以,所以

把①代入②,解得

,解得

所以E的方程為:

2)設,因為,

所以,即,

i)當直線的斜率存在時,設直線的方程為,代入橢圓方程并整理,得.

,

所以,整理得,代入③,

O到直線的距離,

所以

,即的面積為定值1

ii)當直線的斜率不存在時,不妨設的斜率為且點M在第一象限,此時的方程為,代入橢圓方程,解得,此時的面積為.

綜上可知,的面積為定值1

練習冊系列答案
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