精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)過點P(1,
3
2
)
,其左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率e=
1
2
,M,N是橢圓右準線上的兩個動點,且
F1M
F2N
=0

(1)求橢圓的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點?請證明你的結(jié)論.
分析:(1)因為:e=
c
a
=
1
2
,且過點P(1,
3
2
)
,列出關(guān)于a,b的方程,解得a,b.最后寫出橢圓方程即可;
(2)設(shè)點M(4,y1),N(4,y2)寫出向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積得到y(tǒng)1y2=-15,又MN=|y2-y1|=|-
15
y1
-y1|=
15
|y1|
+|y1|≥2
15
,結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值;
(3)利用圓心C的坐標(biāo)和半徑得出圓C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0從而得出圓C過定點.
解答:解:(1)∵e=
c
a
=
1
2
,且過點P(1,
3
2
)
,
1
a2
+
9
4b2
=1
a=2c
a2=b2+c2
解得
a=2
b=
3

∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.(4分)
(2)設(shè)點M(4,y1),N(4,y2)則
F1M
=(5,y1),
F2N
=(3,y2)
,
F1M
F2N
=15+y1y2=0

∴y1y2=-15,
又∵MN=|y2-y1|=|-
15
y1
-y1|=
15
|y1|
+|y1|≥2
15

∴MN的最小值為2
15

(3)圓心C的坐標(biāo)為(4,
y1+y2
2
)
,半徑r=
|y2-y1|
2

圓C的方程為(x-4)2+(y-
y1+y2
2
)2=
(y2-y1)2
4

整理得:x2+y2-8x-(y1+y2)y+16+y1y2=0.∵y1y2=-15,∴x2+y2-8x-(y1+y2)y+1=0
令y=0,得x2-8x+1=0,∴x=4±
15
.∴圓C過定點(4±
15
,0)
點評:本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0),O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉(zhuǎn)動,值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的點到左焦點為F的最大距離是2+
3
,已知點M(1,e)在橢圓上,其中e為橢圓的離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點且斜率為K的直線交橢圓于P、Q兩點,其中P在第一象限,它在x軸上的射影為點N,直線QN交橢圓于另一點H.證明:對任意的K>0,點P恒在以線段QH為直徑的圓內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•武清區(qū)一模)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-1,0)、
F2(1,0),M、N是直線x=a2上的兩個動點,且
F1M
F2N
=0

(1)設(shè)曲線C是以MN為直徑的圓,試判斷原點O與圓C的位置關(guān)系;
(2)若以MN為直徑的圓中,最小圓的半徑為2
2
,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為(  )

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