Question

【題目】已知數(shù)列{bn}滿足bn=| |，其中a1=2，an+1= ．
（1）求b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表達(dá)式（不必寫出證明過(guò)程）；
（2）由（1）寫出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=2，an+1= ，∴ ， ，

又bn=| |，得b1=4，b2=8，b3=16，

猜想：

（2）解：由（1）可得，數(shù)列{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則有 ．

證明：當(dāng)n=1時(shí)， 成立；

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有 ，

則當(dāng)n=k+1時(shí)， =2k+3﹣4=2（k+1）+2﹣4．

綜上， 成立

【解析】（1）由已知結(jié)合數(shù)列遞推式求得b1 ， b2 ， b3 ， 并猜想bn的表達(dá)式；（2）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn ， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)學(xué)歸納法的定義，需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能得出正確答案．