一次機器人足球比賽中,甲隊1號機器人由點A開始作勻速直線運動,到達點B時,發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A作勻速直線滾動.如圖所示,已知AB=4
2
dm,AD=17dm,∠BAC=45°
.若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間,則該機器人最快可在何處截住足球?
分析:構建三角形ABC,利用余弦定理,建立方程,即可求得機器人最快可在何處截住足球.
解答:解:設該機器人最快可在點C處截住足球,點C在線段AD上,設BC=xdm.  (2分)
由題意,CD=2xdm.AC=AD-CD=(17-2x)(dm).               (4分)
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcosA.                               (6分)
x2=(4
2
)2+(17-2x)2-2×4
2
×(17-2x)cos45°
.                 (8分)
解得x1=5(dm),x2=
37
3
(dm)
.                                       (10分)
∴AC=17-2x=7(dm),或AC=-
23
3
(dm)
(不合題意,舍去).        (11分)
答:該機器人最快可在線段AD上離點A7dm的點C處截住足球.        (12分)
點評:本題考查余弦定理的運用,考查利用數(shù)學知識解決實際問題,解題的關鍵是構建滿足題意的三角形,屬于中檔題.
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