【題目】已知函數(shù),(為常數(shù),且).
(1)若當時,函數(shù)與的圖象有且只要一個交點,試確定自然數(shù)的值,使得(參考數(shù)值,,,);
(2)當時,證明:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)6;(2)見解析
【解析】分析:(1)記,求得,分和討論,即可得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值,函數(shù)與的圖象有且只有一個交點,得,進而可求解的取值范圍,確定的值.
(2)由(1)得:當時,只要證明:時,,
記,求得 ,
記,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可作出證明.
詳解:(1)記 ,則,
當時,因為,,函數(shù)單調(diào)遞增,,
函數(shù)無零點,即函數(shù)與的圖象無交點;
當時,,且時,,
時,,
所以,,函數(shù)與的圖象有且只有一個交點,得,
化簡得:,
記,,所以在上單調(diào)遞減,
又, ,
所以,即.
(2)由(1)得:當時,,只要證明:
時,即,
記,
則 ,
記,
圖象為開口向上的拋物線,對稱軸為,
且,所以當時,,即,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,從而,
即成立,所以成立.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對任意正實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1時,f(x)>0.
(1)求f()的值;
(2)判斷y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并給出證明;
(3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,若對任意給定的,關于的方程在區(qū)間上總存在唯一的一個解,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】為了解學生喜歡校內(nèi)、校外開展活動的情況,某中學一課外活動小組在學校高一年級進行了問卷調(diào)查,問卷共100道題,每題1分,總分100分,該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績(單位:分)進行統(tǒng)計,將數(shù)據(jù)按,,,,分成五組,繪制的頻率分布直方圖如圖所示,若將不低于60分的稱為類學生,低于60分的稱為類學生.
(1)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與是否為類學生有關系?
類 | 類 | 合計 | |
男 | 110 | ||
女 | 50 | ||
合計 |
(2)將頻率視為概率,現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次,記被抽取的3人中類學生的人數(shù)為,若每次抽取的結果是相互獨立的,求的分布列、期望和方差.
參考公式:,其中.
參考臨界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構進行了有關網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)
經(jīng)常網(wǎng)購 | 偶爾或不用網(wǎng)購 | 合計 | |
男性 | 50 | 100 | |
女性 | 70 | 100 | |
合計 |
(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;
②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望和方差.
參考公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】5名男生4名女生站成一排,求滿足下列條件的排法:
(1)女生都不相鄰有多少種排法?
(2)男生甲、乙、丙排序一定(只考慮位置的前后順序),有多少種排法?
(3)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少種排法?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側面底面,底面為直角梯形,其中,,,,,,點在棱上且,點為棱的中點.
在棱上且,點位棱的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為調(diào)查該校學生每周參加社會實踐活動的情況,隨機收集了若干名學生每周參加社會實踐活動的時間(單位:小時),將樣本數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖,且在[0,2)內(nèi)的學生有1人.
(1)求樣本容量,并根據(jù)頻率分布直方圖估計該校學生每周參加社會實踐活動時間的平均值;
(2)將每周參加社會實踐活動時間在[4,12]內(nèi)定義為“經(jīng)常參加社會實踐”,參加活動時間在[0,4)內(nèi)定義為“不經(jīng)常參加社會實踐”.已知樣本中所有學生都參加了青少年科技創(chuàng)新大賽,有13人成績等級為“優(yōu)秀”,其余成績?yōu)椤耙话恪,其中成績?yōu)秀的13人種“經(jīng)常參加社會實踐活動”的有12人.請將2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為青少年科技創(chuàng)新大賽成績“優(yōu)秀”與經(jīng)常參加社會實踐活動有關;
(3)在(2)的條件下,如果從樣本中“不經(jīng)常參加社會實踐”的學生中隨機選取兩人參加學校的科技創(chuàng)新班,求其中恰好一人成績優(yōu)秀的概率.
參考公式和數(shù)據(jù):
.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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