已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
,數(shù)列{an}滿足:an>0,a1=1,an+1=f(an),n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項an;(Ⅱ)若bn=
2
an
+1
,對任意正整數(shù)n,不等式
kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn
2+bn
≤0
恒成立,求正數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)求證:
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
+…+
a
2
n
33
20
分析:(Ⅰ)根據(jù)an+1=f(an)得an+1=
an
an+1
?
1
an+1
-
1
an
=1
,則數(shù)列{
1
an
}
是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,可求數(shù)列{
1
an
}
是的通項,從而求出所求;
(Ⅱ)根據(jù)bn=
2
an
+1⇒bn=2n+1
,將k分離出來得k≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
,記g(n)=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
,根據(jù)
g(n+1)
g(n)
>1得到g(n)在n∈N*上遞增,可求出正數(shù)k的取值范圍.
(Ⅲ)根據(jù)
1
n2
1
n2-
1
4
=
1
(n-
1
2
)(n+
1
2
)
=
1
n-
1
2
-
1
n+
1
2
,代入可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:由題意an+1=f(an)?an+1=
an
an+1
?
1
an+1
-
1
an
=1
,
∴數(shù)列{
1
an
}
是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.           …(2分)
1
an
=n
,即an=
1
n
.                                 …(4分)
(Ⅱ)證明:由bn=
2
an
+1⇒bn=2n+1

kn+1
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
-
kn
2+bn
≤0

k≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
…(6分)
g(n)=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)
g(n+1)=
1
2n+5
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)(1+
1
b3
)…(1+
1
bn
)(1+
1
bn+1
)

g(n+1)
g(n)
=
2n+3
2n+5
(1+
1
bn+1
)=
2n+3
2n+5
2n+4
2n+3
=
2n+4
2n+5
2n+3
=
4n2+16n+16
4n2+16n+15
>1

∴g(n+1)>g(n),即g(n)在n∈N*上遞增,
g(n)min=g(1)=
4
5
15
,∴k∈(0,
4
5
15
]
.…(8分)
(Ⅲ)證明:∵
1
n2
1
n2-
1
4
=
1
(n-
1
2
)(n+
1
2
)
=
1
n-
1
2
-
1
n+
1
2

a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
+…+
a
2
n
<1+
1
4
+
1
3-
1
2
-
1
3+
1
2
+
1
4-
1
2
-
1
4+
1
2
+…+
1
n-
1
2
-
1
n+
1
2

=1+
1
4
+
2
5
-
2
2n+1
33
20
.            …(12分)
點評:本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合,以及等差數(shù)列的判定和數(shù)列的函數(shù)特性,同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于難題.
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(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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