已知函數(shù),函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
,且
,其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求的極值;
(2)若,使得不等式
成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),對(duì)于
,求證:
.
(1)當(dāng)時(shí),
沒(méi)有極值;
當(dāng)時(shí),
存在極大值,且當(dāng)
時(shí),
.
(2).
(3)見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:(1) 首先確定函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,求導(dǎo)數(shù)
.為確定函數(shù)的極值,應(yīng)討論
,
的不同情況.
(2) 首先求出,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成
,使得
成立,
引入,將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為:
利用導(dǎo)數(shù)求的最大值,得解.
(3)當(dāng)時(shí),
,構(gòu)造函數(shù)
,即
,
應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,得到.
方法比較明確,分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
試題解析:(1) 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
.
當(dāng)時(shí),
,
在
上為增函數(shù),
沒(méi)有極值; 1分
當(dāng)時(shí),
,
若時(shí),
;若
時(shí),
存在極大值,且當(dāng)
時(shí),
綜上可知:當(dāng)時(shí),
沒(méi)有極值;當(dāng)
時(shí),
存在極大值,且當(dāng)
時(shí),
4分
(2) 函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
,
,
,
5分
,使得不等式
成立,
,使得
成立,
令,則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為:
對(duì)于,
,由于
,
當(dāng)時(shí),
,
,
,
,從而
在
上為減函數(shù),
9分
(3)當(dāng)時(shí),
,令
,則
,
,且
在
上為增函數(shù)
設(shè)的根為
,則
,即
當(dāng)
時(shí),
,
在
上為減函數(shù);當(dāng)
時(shí),
,
在
上為增函數(shù),
,
,
由于在
上為增函數(shù),
14分
考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最(極)值,轉(zhuǎn)化與化歸思想,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
b+2 |
a+2 |
2 |
5 |
2 |
5 |
x | -3 | 0 | 6 |
f(x) | 1 | -1 | 1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:黑龍江省哈師大附中2011-2012學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考月考數(shù)學(xué)文科試題 題型:013
已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-2,+∞),部分函數(shù)值如下表,為f(x)的導(dǎo)函數(shù),
的圖象如圖所示.如果實(shí)數(shù)a滿足f(a)<1,則a的取值范圍是
A.(-2,0)
B.(0,4)
C.(-2,4)
D.[-2,4)
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