【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2,在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ: 得到曲線C′,若M(x,y)為曲線C′上任意一點(diǎn),求點(diǎn)M到直線l的最小距離.

【答案】
(1)解:曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2,化為直角坐標(biāo)方程:x2+y2=4.

直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),消去參數(shù)t化為普通方程:y=x+3


(2)解:曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ: ,即 ,代入曲線C的方程可得:4(x′)2+(y′)2=4,即得到曲線C′: =1.

若M(x,y)為曲線C′上任意一點(diǎn),設(shè)M(cosθ,2sinθ),點(diǎn)M到直線l的距離d= = = ,當(dāng)且僅當(dāng)sin(θ﹣φ)=1時(shí)取等號(hào).

因此最小距離為:


【解析】(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2,利用互化公式化為直角坐標(biāo)方程.直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),相減消去參數(shù)t化為普通方程.(2)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換φ: ,即 ,代入曲線C的方程可得:4(x′)2+(y′)2=4,即得到曲線C′: =1.設(shè)M(cosθ,2sinθ),點(diǎn)M到直線l的距離d= = ,即可得出最小值.

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