Question

已知函數(shù)y=

mx2-6mx+m+8

的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m變化時(shí)，若y的最小值為f（m），求函數(shù)f（m）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用該函數(shù)的被開方數(shù)大于等于零得出該函數(shù)有意義需滿足的不等式，結(jié)合恒成立問題得出字母m滿足的不等式；
（2）通過配方法將函數(shù)的被開方數(shù)寫成二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，求出y的最小值為f（m），借助m的范圍求出f（m）的值域．

解答：解：（1）依題意，當(dāng)x∈R時(shí)，mx²-6mx+m+8≥0恒成立．當(dāng)m=0時(shí)，x∈R；
當(dāng)m≠0時(shí)，

m＞0 △≤0

即

m＞0 (-6m)2-4m(m+8)≤0

．
解之得0＜m≤1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍0≤m≤1．
（2）當(dāng)m=0時(shí)，y=2

2

；
當(dāng)0＜m≤1，y=

m(x-3)2+8-8m

．
∴y_min=

8-8m

．
因此，f（m）=

8-8m

（0≤m≤1），
易得0≤8-8m≤8．
∴f（m）的值域?yàn)閇0，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查偶次根式的定義域的求解，考查不等式恒成立問題的解決辦法，關(guān)鍵要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求值域是本題的另一個(gè)命題點(diǎn)．