f(x)=ax3-3x(a>0)對于x∈[0,1]總有f(x)≥-1成立,則a的范圍為
 
分析:本題是關于不等式的恒成立問題,可轉化為函數(shù)的最值問題來求解,先對x分類討論:x=0與x≠0,當x≠0即x∈(0,1]時,得到:a≥
3x-1
x3
,構造函數(shù)g(x)=
3x-1
x3
,只需需a≥[g(x)]max,于是可以利用導數(shù)來求解函數(shù)g(x)的最值.
解答:解:∵x∈[0,1]總有f(x)≥-1成立,
即ax3-3x+1≥0,x∈[0,1]恒成立
當x=0時,要使不等式恒成立則有a∈(0,+∞)
當x∈(0,1]時,ax3-3x+1≥0恒成立,
即有:a≥
3x-1
x3
在x∈(0,1]上恒成立,令g(x)=
3x-1
x3
,必須且只需a≥[g(x)]max
g′(x)=
3(1-2x)
x4
>0得,x<
1
2

所以函數(shù)g(x)在(0,
1
2
]上是增函數(shù),在[
1
2
,1]上是減函數(shù),所以[g(x)]max=g(
1
2
)
=4,即a≥4
綜合以上可得:a≥4.
答案為:[4,+∞).
點評:本題考查函數(shù)的導數(shù),含參數(shù)的不等式恒成立為題,方法是轉化為利用導數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題,考查了分類討論的數(shù)學思想方法.
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