（200個•陜西）已知橢圓C：
x2
個2
+
y2
b2
=1（個＞b＞0）的離心率為
左
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于個、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為
3
2
，求△個OB面積的最大值．
（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意
c
a
=
6
3
a=
3
∴b=1，∴所求橢圓方程為
x上
3
+y上=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x上，y上）．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|=
3
．
（上）當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知
|m|
1+k上
=
3
上
，得m上=
3
r
(k上+1)．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k上+1）x上+6kmx+3m上-3=0，
∴x1+x上=
-6km
3k上+1
，x1x上=
3(m上-1)
3k上+1
．
∴|AB|上=（1+k上）（x上-x1）上
=(1+k上)[
36k上m上
(3k上+1)上
-
1上(m上-1)
3k上+1
]
=
1上(k上+1)(3k上+1-m上)
(3k上+1)上

=
3(k上+1)(9k上+1)
(3k上+1)上

=3+
1上k上
9kr+6k上+1

=3+
1上
9k上+
1
k上
+6
(k≠0)≤3+
1上
上×3+6
=r．
當(dāng)且僅當(dāng)9k上=
1
k上
，即k=±
3
3
時等號成立．當(dāng)k=0時，|AB|=
3
，
綜上所述|AB|max=上．∴當(dāng)|AB|最大時，△AOB面積取最大值S=
1
上
×|AB|max×
3
上
=
3
上
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線l過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，且交拋物線于A，B兩點，交其準(zhǔn)線于C點，已知|AF|=4，
CB
=3
BF
，則p=（　　）
A．2B．
4
3
C．
8
3
D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-
1
2
，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O為坐標(biāo)原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過F1的直線L與該橢圓相交于M、N兩點，且|
F1M
|=2|
F1N
|，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，當(dāng)mn取得最小值時，直線y=-
2
x+2與曲線
x|x|
m
+
y|y|
n
=1交點個數(shù)為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（0，1）、B（0，-1），P是一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為-
1
2
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)Q（2，0），過點（-1，0）的直線l交C于M、N兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式
QM
•
QN
≤λ恒成立，求λ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知兩定點E(-
2
，0)，F(xiàn)(
2
，0)，動點P滿足
PE
•
PF
=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足
PM
=(
2
-1)
MQ
，點M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動弦，且|AB|=2，求坐標(biāo)原點O到動弦AB距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，矩形ABCD中，E是BC上的點，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，則AB的長為________．

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同步練習(xí)冊答案