如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,點(diǎn)C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若數(shù)學(xué)公式=x數(shù)學(xué)公式+y數(shù)學(xué)公式,則x+3y的取值范圍是________.

[1,3]
分析:過點(diǎn)C作CE∥OB,交OA于E,再作CF∥OA,交OB于F.平行四邊形OECF中,可得,結(jié)合平面向量基本定理得到=x=y.考慮到x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大,所以當(dāng)y越大時(shí)x+3y的值越大,因此將點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng),加以觀察即可得到x+3y的取值范圍.
解答:過點(diǎn)C作CE∥OB,交OA于E,再作CF∥OA,交OB于F,可得
∵四邊形OECF是平行四邊形

=x+y,是共線向量且是共線向量,
=x,=y
根據(jù)同向、同向,可得x=且y=
∵x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大,當(dāng)點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng)的過程中,
||變短而||變長(zhǎng)
∴當(dāng)C與A重合時(shí),x=1達(dá)到最大而y=0達(dá)到最小,此時(shí)x+3y有最小值為1;
當(dāng)C與A重合時(shí),x=0達(dá)到最小而y=1達(dá)到最大,此時(shí)x+3y有最大值為3
即x+3y的取值范圍是[1,3]
故答案為:[1,3]
點(diǎn)評(píng):本題給出扇形OAB的弧AB上動(dòng)點(diǎn)C,在=x+y的情況下求x+3y的取值范圍.著重考查了平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算法則和二元函數(shù)最值求法等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在扇形OAB中,∠AOB=90°,C為
AB
的中點(diǎn).在OC上任取點(diǎn)N,過N作EF⊥OC,交
AB
于E.F,則EF<OA的概率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州一模)如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,點(diǎn)C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若
OC
=x
OA
+y
OB
,則x+3y的取值范圍是
[1,3]
[1,3]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上且與A,B不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
OC
=x
OA
+y
OB
,若u=x+λy,(λ>0)存在最大值,則λ的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上且與A,B不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
OC
=x
OA
+y
OB
,若u=x+λy,(λ>0)存在最大值,則λ的取值范圍為(  )
A.(
1
2
,1)
B.(1,3)C.(
1
2
,2)
D.(
1
3
,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年浙江省杭州市重點(diǎn)高中高考命題比賽數(shù)學(xué)參賽試卷01(理科)(解析版) 題型:選擇題

如圖,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C為弧AB上且與A,B不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,若u=x+λy,(λ>0)存在最大值,則λ的取值范圍為( )

A.
B.(1,3)
C.
D.

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