[1,3]
分析:過點(diǎn)C作CE∥OB,交OA于E,再作CF∥OA,交OB于F.平行四邊形OECF中,可得
,結(jié)合平面向量基本定理得到
=x
,
=y
.考慮到x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大,所以當(dāng)y越大時(shí)x+3y的值越大,因此將點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng),加以觀察即可得到x+3y的取值范圍.
解答:
過點(diǎn)C作CE∥OB,交OA于E,再作CF∥OA,交OB于F,可得
∵四邊形OECF是平行四邊形
∴
∵
=x
+y
,
與
是共線向量且
與
是共線向量,
∴
=x
,
=y
根據(jù)
與
同向、
與
同向,可得x=
且y=
∵x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大,當(dāng)點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng)的過程中,
|
|變短而|
|變長(zhǎng)
∴當(dāng)C與A重合時(shí),x=1達(dá)到最大而y=0達(dá)到最小,此時(shí)x+3y有最小值為1;
當(dāng)C與A重合時(shí),x=0達(dá)到最小而y=1達(dá)到最大,此時(shí)x+3y有最大值為3
即x+3y的取值范圍是[1,3]
故答案為:[1,3]
點(diǎn)評(píng):本題給出扇形OAB的弧AB上動(dòng)點(diǎn)C,在
=x
+y
的情況下求x+3y的取值范圍.著重考查了平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算法則和二元函數(shù)最值求法等知識(shí),屬于中檔題.