Question

【題目】數(shù)列： 滿足： ．記的前項(xiàng)和為，并規(guī)定．定義集合， ， ．

（Ⅰ）對(duì)數(shù)列： ， ， ， ， ，求集合；

（Ⅱ）若集合， ，證明： ；

（Ⅲ）給定正整數(shù)．對(duì)所有滿足的數(shù)列，求集合的元素個(gè)數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)定義求出， ， ， ， ，比較可得．

（Ⅱ）由集合的定義可得是使得成立的最小的k，

所以.又因?yàn)?，由此可證： ；

（Ⅲ）設(shè)集合，不妨設(shè)，

則由（Ⅱ）可知，

同理，且．所以可證． 因?yàn)?/span>，所以的元素個(gè)數(shù)．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ， ， ， ， ，

所以．

（Ⅱ）由集合的定義知，且是使得成立的最小的k，

所以.

又因?yàn)?，

所以

所以．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，所以非空．

設(shè)集合，不妨設(shè)，

則由（Ⅱ）可知，

同理，且．

所以

．

因?yàn)?/span>，所以的元素個(gè)數(shù)．

取常數(shù)數(shù)列： ，并令，

則，適合題意，

且，其元素個(gè)數(shù)恰為．

綜上， 的元素個(gè)數(shù)的最小值為．