【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點到直線l:2x﹣y﹣1=0的距離為.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點P(0,t)(t>0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,交x軸于點Q,若拋物線C上總存在點M(異于原點O),使得∠PMQ=∠AMB=90°,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)x2=y;(2)t≥1.
【解析】
(1)直接利用點到直線的距離公式計算得到答案.
(2)過點P(0,t)(t>0)的直線l的方程設(shè)為y=kx+t,聯(lián)立方程,利用韋達定理得到x1+x2=k,x1x2=﹣t,且y1=x12,y2=x22,根據(jù)∠PMQ=∠AMB=90°,可得1,化簡得到答案.
(1)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(0,)到直線l:2x﹣y﹣1=0的距離為,
可得,解得p,即拋物線的方程為x2=y;
(2)過點P(0,t)(t>0)的直線l的方程設(shè)為y=kx+t,聯(lián)立x2=y,可得x2﹣kx﹣t=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得k2+4t>0,x1+x2=k,x1x2=﹣t,且y1=x12,y2=x22,
設(shè)M(m,m2),Q(,0),
由∠PMQ=∠AMB=90°,可得1,化為m3﹣mt+m,①
1,即(m+x1)(m+x2)=﹣1,化為m2+km﹣t+1=0,②
由①②可得t=k2m2,
由k2﹣4(1﹣t)≥0可得4(1﹣t)≤k2,
由于m≠0,m2>0,可得0解得t≥1.
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【題目】已知的定義域為,,使得不等式成立,關(guān)于的不等式的解集記為.
(1)若為真,求實數(shù)的取值集合;
(2)在(1)的條件下,若是的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標值劃分等級如表:
質(zhì)量指標值m | 25≤m<35 | 15≤m<25或35≤m<45 | 0<m<15或45≤m≤65 |
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
某企業(yè)從生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取100件產(chǎn)品作為樣本,檢測其質(zhì)量指標值,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表):
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品82%”的規(guī)定?
(2)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標值X近似滿足X~N(31,122),則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標值的均值比活動前大約提升或降低多少?
(3)若企業(yè)每件一等品售價180元,每件二等品售價150元,每件三等品售價120元,以樣本中的頻率代替相應(yīng)概率,現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品,設(shè)其支付的費用為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A.命題“若⊥,則0”的否命題為“若⊥,則0”
B.命題“函數(shù)f(x)=(a﹣1)x是R上的增函數(shù)”的否定是“函數(shù)f(x)=(a﹣1)x是R上的減函數(shù)”
C.命題“在△ABC中,若sinA=sinB,則A=B”的逆否命題為真命題
D.命題“若x=2,則x2﹣3x+2=0”的逆命題為真命題
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【題目】在平面角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,將曲線向左平移個單位長度得到曲線.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)已知為曲線上的動點, 兩點的極坐標分別為,求的最大值.
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【題目】中國倉儲指數(shù)是反映倉儲行業(yè)經(jīng)營和國內(nèi)市場主要商品供求狀況與變化趨勢的已套指數(shù)體系.如圖所示的折線圖是2017年和2018年的中國倉儲指數(shù)走勢情況.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論中不正確的是( 。
A. 2018年1月至4月的倉儲指數(shù)比2017年同期波動性更大
B. 這兩年的最大倉儲指數(shù)都出現(xiàn)在4月份
C. 2018年全年倉儲指數(shù)平均值明顯低于2017年
D. 2018年各倉儲指數(shù)的中位數(shù)與2017年各倉儲指數(shù)中位數(shù)差異明顯
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【題目】某公司為了變廢為寶,節(jié)約資源,新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目.經(jīng)測算該項目月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為:
,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為200元,若該項目不獲利,政府將給予補貼.
(1)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?
(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?
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【題目】朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家,他所著《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中提到一些堆垛問題,如“三角垛果子”,就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐,每層皆堆成正三角形,從上向下數(shù),每層果子數(shù)分別為1,3,6,10,…,現(xiàn)有一個“三角垛果子”,其最底層每邊果子數(shù)為10,則該層果子數(shù)為( 。
A. 50B. 55C. 100D. 110
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