Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),在橢圓C的右準(zhǔn)線上的點(diǎn)P(2,),滿(mǎn)足線段PF₁的中垂線過(guò)點(diǎn)F₂,直線l:y=kx+m為動(dòng)直線,且直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若在橢圓C上存在點(diǎn)Q,滿(mǎn)足+=λ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)λ取何值時(shí),△ABO的面積最大,并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

解:(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),半焦距為c,依題意有

解得∴b=1.

∴所求橢圓方程為+y²=1.

(2)由得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則 y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2m=.

(ⅰ)當(dāng)m=0時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則λ=0.

(ⅱ)當(dāng)m≠0時(shí),點(diǎn)A、B不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則λ≠0,

由+=λ,得即.

∵點(diǎn)Q在橢圓上,∴有［］²+2［］²=2.

化簡(jiǎn),得4m²(1+2k²)=λ²(1+2k²)².∵1+2k²≠0,∴有4m²=λ²(1+2k²).① 

又∵Δ=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(1+2k²-m²),∴由Δ＞0,得1+2k²＞m².② 

由①②兩式,得4m²＞λ²m².∵m≠0,∴λ²＜4,則-2＜λ＜2且λ≠0.

綜合(ⅰ)、(ⅱ)兩種情況,得實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-2＜λ＜2.

(3)∵|AB|=|x₁-x₂|,點(diǎn)O到直線AB的距離d=,

∴△AOB的面積S=|m||x₁-x₂|=|m|=.

由①有1+2k²=,代入上式并化簡(jiǎn),得S=.

∵≤2,∴S≤.

當(dāng)且僅當(dāng)λ²=4-λ²,即λ=±時(shí),等號(hào)成立.

∴當(dāng)λ=±2時(shí),△ABO的面積最大,最大值為.