Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax＋ln(x－1)，其中a為常數(shù)．

(1)試討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a＝時(shí)，存在x使得不等式成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1－)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，＋∞)；（2）

【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，通過(guò)討論的符號(hào)研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先由（1）得到函數(shù)的最值，再分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的求值問(wèn)題，再通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行求解.

試題解析：(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>{x|x>1}，f′(x)＝a＋＝.

當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0在定義域內(nèi)恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，

當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝1－>1，

當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,1－)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，＋∞)．

(2)由(1)知當(dāng)a＝時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，＋∞)．

所以f(x)max＝f(e)＝＋ln(e－1)<0，

所以|f(x)|≥－f(e)＝－ln(e－1)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x＝e時(shí)取等號(hào)．

令g(x)＝，則g′(x)＝，

當(dāng)1<x<e時(shí)，g′(x)>0；

當(dāng)x>e時(shí)，g′(x)<0，

從而g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，

在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max＝g(e)＝＋，

所以存在x使得不等式|f(x)|－≤成立，

只需－ln(e－1)－≤＋，

即b≥－－2ln(e－1)．