【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)= (x為實常數(shù)).
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;
(2)若方程e2fx=g(x)(其中e=2.71828…)在區(qū)間[ ]上有解,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時,函數(shù)φ(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ + ,

∴φ′(x)= = ;

x∈[4,+∞),∴φ′(x)>0

∴函數(shù)φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上單調(diào)遞增

∴x=4時,φ(x)min=2ln2﹣


(2)解:方程e2fx=g(x)可化為x2= ,∴a= ﹣x3

設(shè)y= ﹣x3,則y′= ﹣3x2

∵x∈[ ]

∴函數(shù)在[ ]上單調(diào)遞增,在[ ,1]上單調(diào)遞減

∵x= 時,y= ;x= 時,y= ;x=1時,y= ,

∴y∈[ ]

∴a∈[ ]


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),求得函數(shù)的單調(diào)性,即可求函數(shù)φ(x)=f(x)﹣g(x)在x∈[4,+∞)上的最小值;(2)化簡方程,分離參數(shù),再構(gòu)建新函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的值域,即可求實數(shù)a的取值范圍.

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