Question

（2012•江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．已知（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF₁與直線BF₂平行，AF₂與BF₁交于點(diǎn)P．
（i）若AF₁-BF₂=

6

2

求直線AF₁的斜率；
（ii）求證：PF₁+PF₂是定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知（1，e）和（e，

3

2

），都在橢圓上列式求解．
（2）（i）設(shè)AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AF₁|、|BF₂|，根據(jù)已知條件AF₁-BF₂=

6

2

，用待定系數(shù)法求解；
（ii）利用直線AF₁與直線BF₂平行，點(diǎn)B在橢圓上知，可得PF1=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)，PF2=

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)，由此可求得PF₁+PF₂是定值．

解答：（1）解：由題設(shè)知a²=b²+c²，e=

c

a

，由點(diǎn)（1，e）在橢圓上，得

1

a2

+

c2

a2b2

=1，∴b=1，c²=a²-1．
由點(diǎn)（e，

3

2

）在橢圓上，得

e2

a2

+

3

4 b2

=1
∴

a2-1

a4

+

3

4

=1，∴a²=2
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
又∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴設(shè)AF₁與BF₂的方程分別為x+1=my，x-1=my．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y12-2my₁-1=0．
∴y1=

m+ 2m2+2

m2+2

，y1=

m- 2m2+2

m2+2

（舍），
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y₁|=

2 (m2+1)+ m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)- m m2+1

m2+2

②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2 m m2+1

m2+2

，∴

2 m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直線AF₁的斜率為

1

m

=

2

2

．
（ii）證明：∵直線AF₁與直線BF₂平行，∴

PB

PF1

=

BF2

AF1

，即PF1=

AF1

AF1+BF2

×BF1．
 由點(diǎn)B在橢圓上知，BF1+BF2=2

2

，∴PF1=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)．
 同理PF2=

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)．
∴PF₁+PF₂=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)+

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)=2

2

-

2AF1×BF2

AF1+BF2

 由①②得，AF1+BF2=  

2 2 (m2+1)

m2+2

，AF1×BF2= 

m2+1

m2+2

，
∴PF₁+PF₂=

3 2

2

．
∴PF₁+PF₂是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．