【題目】已知實(shí)數(shù)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）證明：.

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性確定有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理說明時(shí)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）不妨設(shè)，并構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)遞增，結(jié)合可得，最后根據(jù)單調(diào)性得結(jié)果.

（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，必須，即，

當(dāng)時(shí)，，故存在使得，

構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，

則，故存在使得，

結(jié)合的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上.

（2）證明：由（1）不妨設(shè)，構(gòu)造，

，故在R上單調(diào)遞增，又，

故當(dāng)時(shí)，，即，取得，

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】由我國(guó)引領(lǐng)的5G時(shí)代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)和波及效應(yīng)，間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造岀更多的經(jīng)濟(jì)增加值.如圖是某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出所做的預(yù)測(cè).結(jié)合下圖，下列說法正確的是（ ）

A.5G的發(fā)展帶動(dòng)今后幾年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，以，兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作拋物線的切線，，設(shè)與交于點(diǎn).

（1）求；

（2）過，的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，證明：，并求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異也”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在每一等高處的兩截面面積都相等，則兩幾何體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足祖暅原理，則該不規(guī)則幾何體的體積為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．

求證：平面BDEF；

求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在衡陽(yáng)市“創(chuàng)全國(guó)文明城市”（簡(jiǎn)稱“創(chuàng)文”）活動(dòng)中，市教育局對(duì)本市A，B，C，D四所高中學(xué)校按各校人數(shù)分層抽樣，隨機(jī)抽查了200人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

學(xué)校

A

B

C

D

抽查人數(shù)

10

15

100

75

“創(chuàng)文”活動(dòng)中參與的人數(shù)

9

10

80

49

假設(shè)每名高中學(xué)生是否參與“創(chuàng)文”活動(dòng)是相互獨(dú)立的

（1）若本市共8000名高中學(xué)生，估計(jì)C學(xué)校參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的人數(shù)；

（2）在上表中從A，B兩校沒有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求恰好A，B兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)文”活動(dòng)的概率；

（3）在隨機(jī)抽查的200名高中學(xué)生中，進(jìn)行文明素養(yǎng)綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)（滿分為100分），得到如上的頻率分布直方圖，其中．求a，b的值，并估計(jì)參與測(cè)評(píng)的學(xué)生得分的中位數(shù)．（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求證：直線MN恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是定義為R的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有且當(dāng)時(shí)， ，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2018年雙11當(dāng)天，某購(gòu)物平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)2135億人民幣．與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.9，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為140次．

（1）請(qǐng)完成下表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.5％的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？

對(duì)服務(wù)好評(píng)

對(duì)服務(wù)不滿意

合計(jì)

對(duì)商品好評(píng)

140

對(duì)商品不滿意

10

合計(jì)

200

（2）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的3次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為X．

①求隨機(jī)變量X的分布列；

②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

附：，其中n＝a＋b＋c＋d．

P（K2≥k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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