Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=cos（2x+ ）+1，△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．
（1）若角A、B、C成等差數(shù)列，求f（B）的值；
（2）若f（ ﹣ ）= ，邊a、b、c成等比數(shù)列，△ABC的面積S= ，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵角A、B、C成等差數(shù)列，可得：2B=A+C，

又∵A+B+C=π，

∴B= ，

∴可得：f（B）=cosπ+1=0．

（2）解：∵f（ ﹣ ）=cos[2（ ﹣ ）+ ]+1=cosB+1= ，

∴cosB= ，可得sinB= = ，

∴S= acsinB= ac= ，可得：ac=2，

∵a、b、c成等比數(shù)列，即b2=ac，

∴b= ，

又∵由余弦定理可得：cosB= = = = ，

∴解得：a+c=3．

∴△ABC的周長(zhǎng)=a+b+c=3+ ．

【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求B的值，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．（2）化簡(jiǎn)已知等式可求cosB，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用三角形面積公式，等比數(shù)列的性質(zhì)可求b，利用余弦定理可求a+c，從而計(jì)算得解三角形的周長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．