Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若平面內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由；

（3）在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動點(diǎn)，其中為曲線和的交點(diǎn).以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在曲線段上運(yùn)動時(shí)，試求圓半徑的范圍及的范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)雙曲線；(3)，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立空間直角坐標(biāo)系運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求解；(2)在空間坐標(biāo)系中借助題設(shè)建立方程探求；(3)依據(jù)題設(shè)建立函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用二次函數(shù)的知識及不等式的性質(zhì)等知識分析探求.

試題解析：

（1）如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.于是有、，則有,又

則異面直線與所成角滿足，

所以，異面直線與所成角的大小為.

（2）如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，

則，，

則，

，

化簡整理得到，

則曲線是平面內(nèi)的雙曲線.

（3）解：在如圖所示的的坐標(biāo)系中，因?yàn)?/span>、、，設(shè).則有,故的方程為，

代入雙曲線:的方程可得，，其中.

因?yàn)橹本�與雙曲線交于點(diǎn),故.進(jìn)而可得，即.故雙曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的區(qū)域滿足，.又設(shè)為雙曲線上的動點(diǎn)，.

所以，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

而要使圓與、都有交點(diǎn)，則.

故滿足題意的圓的半徑取值范圍是.

因?yàn)?/span>,所以體積為.故問題可以轉(zhuǎn)化為研究的面積.又因?yàn)?/span>為直角，所以必為等腰直角三角形.

由前述，設(shè)，則，

故其面積，所以.

于是，.

(當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)重合時(shí)，體積取得最大值；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到橫坐標(biāo)時(shí)，即長度最小時(shí)，體積取得最小值）